战国时期中山国中山成公陪葬墓出土的骨算筹。河北博物院供图

算筹，又叫筹、策、算子，是人们用来计数、列式和进行运算的“筹算”工具，比算盘的出现要早2000多年。算字一作“筭”，从字形上看，有摆弄小竹棍的意味，实物形态类似于我们常见的不起眼的小棍儿、竹签，其重要价值却足以在光辉灿烂的中国古代数学史上熠熠生辉。

其实，“数”的概念产生得很早，学者唐兰先生曾指出仰韶时期骨契上的刻画符号，很可能模仿了当时人们的计数方式。而新石器时代遗址中也发现了一定数量的刻画和彩绘符号，已具备“计数”功能。到商周时，巫人占卜手持的“策”，便是算筹，而“八卦”便是用算筹排列出来的。可以说，算筹在萌芽伊始，便具有占卜、计数的功能。商代末期的算筹计数已经有了纵横两种形式，具备了位值制的意义，到战国晚期趋于完整，至汉魏时成熟。

自20世纪50年代以来，考古发掘中陆续出现了多批战国、秦汉时期的算筹实物，更是揭示了算筹的面貌：一根根同样长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成；一般长约13厘米，径粗约0.2厘米，随着时间的推移，配合运算的日益复杂，算筹形制也逐渐由长变短、截面也由单一的圆形变成方形、三角形。结合文献记载，它们有的是历法运算时用来复杂筹算的，一般与笔、砚、墨、削一类的文具和计算相关的度量衡等同时出现，西汉《急就篇》就有“笔砚筹算膏火烛”的说法；也有占卜游戏时用以简单计数的，多与博具盒等游戏用具一同被发现。

河北博物院展陈中就有这种“初代计算器”——战国时期中山国的算筹。其中，中山成公的陪葬墓出土有一捆骨算筹，45根细长的圆棍儿，多数是淡黄色，也有少数发白或呈淡青色，是用来运算的工具。为什么是一捆呢？很好理解，人们将算筹捆起来，甚至有专门的“算袋子”，可以系在腰间，方便随身携带。秦始皇扔的算袋化为“算袋鱼”的故事便与此有关。按《汉书·律历志》的记载，用来计算的算筹多则有“二百七十一枚”为一握，即西汉时人们已经用算筹进行较为复杂的运算，一捆算筹多达271根！实际上，像成公墓这样一捆45根左右的算筹，处理日常生活中一般的计数运算已经足够了。

算筹遵循十进位制，按《孙子算经》的记载，成熟的算筹“凡算之法,先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”，即以纵横两种排列方式来表示1—9的数目，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。刘徽在《九章算术》中标注的“正算赤、负算黑”，也随着神禾原战国秦陵墓出土的象牙涂色算筹的发现得到了实物例证。

算筹不但可以用来摆成各种形制进行加减乘除四则运算，古人还用算筹来进行诸如开方、二次三次方程等复杂运算以及特定的演算。如《九章算术》“少广”章就记载了开平方的算法——算筹摆三行：上行是平方根，叫“商”；中行是被开方数，为“实”，下行是开方过程中去除“实”的数，称为“法”。三行之下还要放一根筹，叫“借算”，其运算原理与现代开方基本一致。

算筹作为我国最初的计算工具，直到明代中晚期才被算盘完全取代。不过，由此发展起来的筹算数学并没有消失，而是顺应着人们对计算速度和准确性的要求不断提高，催生了高速计算器，造就了中国数学计算技术的发展繁荣。

（作者单位：河北博物院，本报记者邵玉姿采访整理）

《 人民日报 》（ 2024年10月06日 06 版）